присоединённая матрица её свойства

0,98 Mb.страница9/17Дата конвертации03.10.2011Размер0,98 Mb.Тип Смотрите также:             9           ^ W II.3.Свойства действий (операций) Пусть в множестве А определено действие, обозначаемое « ». Действие называется неограниченно-применимым, если результат действия х у определен для любой пары элементов х, у А, т.е. х у А. Действие называется коммутативным, если для любой пары элементов х, у А, для которых определен результат z=х у А, обязательно определен и результат z =у х А, и при этом z=z (т.е. х у=у х). Действие называется ассоциативным, если для любой тройки элементов х, у, z А, для которой определены результаты (х у) и ((х у) z), обязательно определены и результаты (у z) и (х (у z)), и наоборот. Причем выполняется равенство ((х у) z)= (х (у z)). Действие называется обратимым, если для любой пары элементов х, у А всегда существуют такие u, v А, что определены результаты (х u) и (v х) и выполняются равенства (х u)=y (обратимо справа) и (v х)=y (обратимо слева). Действие называется сократимым справа, если для любой тройки элементов х, у, z А, для которой определены результаты (х z) и (у z), равенство (х z)=(у z) выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Аналогично, действие называется сократимым слева, если для любой тройки элементов х, у, z А, для которой определены результаты (z x) и (z y), равенство (z x)=(z y) выполняется тогда и только тогда, когда x=y. Если действие сократимо как справа, так и слева, то оно называется сократимым. Элемент еп А называется нейтральным справа относительно данного действия, если для любого х А результат (x еп) определен и равен х. Аналогично, элемент ел А называется нейтральным слева относительно данного действия, если для любого х А результат (ел x) определен и равен х. Элемент е А называется нейтральным относительно данного действия, если он является нейтральным как справа, так и слева одновременно, т.е. (е x)=(x е)=х для любого х А. При мультипликативной записи нейтральный элемент называется единицей и обозначается «1», при аддитивной записи нулем и обозначается «0». Элемент x А называется обратным к элементу х А, если определены результаты (х х )и (х х) и имеет место равенство (х х )=е (обратный справа) и (х х)=е (обратный слева), где е нейтральный элемент. Из этого определения следует, что (х ) =х. При мультипликативной записи обратный элемент обозначается «х-1», а при аддитивной « х». Элемент x А называется идемпотентным, если результат (х x) определен и равен х. Заметим, что относительно данного действия в множестве может существовать лишь один нейтральный элемент. Действительно, если предположить, что е1 и е2 два нейтральных элемента, то для любого элемента х А, в том числе и для х=е2 (е1 е2)=(е2 е1)=е2. И аналогично, для х=е1 (е2 е1)=(е1 е2)=е1. Отсюда следует, что е1=е2 и, кроме того, обратным элементом к нейтральному является он сам. ^ W II.4.Простейшие алгебраические системы Алгебраические системы определяются множеством и заданными на нем действиями, обладающими теми или иными свойствами. Среди алгебраических систем некоторые выделяются в виду их особой важности и имеют особые наименования. Множество, с заданным на нем бинарным действием называется группоидом или оперативом. Группоид называется частичным, если действие не обладает свойством неограниченной применимости; мультипликативным, если используется мультипликативная запись действия, и аддитивным в случае аддитивной записи действия. Множество, в котором задано неограниченно применимое и ассоциативное действие, называется полугруппой. Таким образом, полугруппа это группоид с ассоциативным действием. При мультипликативной записи с ассоциативным умножением, при аддитивной с ассоциативным сложением. Полугруппа с нейтральным элементом называется моноидом. Множество, в котором задано неограниченно применимое, ассоциативное и обратимое действие, называется группой. Таким образом, группа это полугруппа с обратимым действием, т.е. для любых элементов x, y G найдутся элементы u, v G такие, что x u=y и v x=y. Группа (полугруппа) называется абелевой, если действие коммутативно. Для абелевых групп чаще используется аддитивная запись действия, т.е. x, y, z G (x+y)+z=x+(y+z), x+y=y+x и x, y G u, v G: x+u=y и v+x=y. (О группе) 1. В любой группе существует единица (нейтральный элемент) и при том только одна. Для любого элемента группы существует обратный элемент и при том только один. 2. Если в полугруппе существует нейтральный элемент и для любого её элемента существует обратный, то она является группой. Доказательство: 1. Докажем сначала существование нейтрального элемента относительно действия в группе. Т.к. действие в

Курс лекций Часть I учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград 2005 4 чел. помогло.

W II.3.Свойства действий (операций) - Курс лекций Часть I учебное пособие рпк «Политехник» Волгоград 2005